已知函数f(x)=1/2sin^2 x+cos^2 x+(根号3/4)sin2x

题目

已知函数f(x)=1/2sin^2 x+cos^2 x+(根号3/4)sin2x
1)f(x)的周期
2）当X为何值是,f(x)有最大值?最大值是多少?

答案

f(x)=1/2 〖sin〗^2 x+〖cos〗^2 x+√3/4 sin⁡2x
由于1-2〖sin〗^2 x=cos⁡2x=2〖cos〗^2 x-1
因此上式可以化为：
f(x)=(1-cos⁡2x)/4+(1+cos⁡2x)/2+√3/4 sin⁡2x
=(3+cos⁡2x+〖√3 sin〗⁡2x)/4
=3/4+1/2×（〖1/2 cos〗⁡2x+〖√3/2 sin〗⁡2x）
=3/4+1/2×（〖sin⁡〖π/6〗 cos〗⁡2x+〖cos⁡〖π/6〗 sin〗⁡2x）
=3/4+1/2 sin⁡〖(2x+π/6)〗
因此f(x)周期为π,最大值为5/4,当且仅当2x+π/6=2kπ+π/2
即x= kπ+π/6时