已知直线l: (1+k)x+(2k-1)y+6=0 证明无论k取何值直线l恒过定点 k取何值时原点到直线l距离最大

题目

已知直线l: (1+k)x+(2k-1)y+6=0 证明无论k取何值直线l恒过定点 k取何值时原点到直线l距离最大

答案

(1+k)x+(2k-1)y+6=0
x+kx+2ky-y+6=0
(x+2y)k+x-y+6=0
当x+2y=0时,x-y+6=0
解这个方程组得：
x=-4；y=2
那么：k取何值直线l恒过定点(-4,2)
原点到直线l距离=6/根号[(1+k)²+(2k-1)²]
要使原点到直线l距离最大,只要使(1+k)²+(2k-1)²最小
(1+k)²+(2k-1)²=k²+2k+1+4k²-4k+1
=5k²-2k+2
=5(k-1/5)²+2-1/5
所以：当k=1/5时,上式最小,那么原点到直线l距离最大.