数学归纳法：归纳—猜想—论证

题目

数学归纳法：归纳—猜想—论证
1.依次计算（1-1/2）,（1-1/2）（1-1/3）,（1-1/2）（1-1/3）（1-1/4）,……的值；根据计算的结果,猜想Tn=（1-1/2）（1-1/3）（1-1/4）…[1-1/(n+1)}的表达式,并用数学归纳法加以证明
2.已知数列：1/1*2,1/2*3,1/3*4,…,1/n*(n+1),…,设Sn为该数列的前n项和,计算S1,S2,S3,S4的值；根据计算的结果,猜想Sn=1/1*2+1/2*3+1/3*4+…+1/n(n+1)的表达式,并用数学归纳法加以证明
3.已知数列{an}满足：a1=1,a(n+1)=3an/(an+3),an不等于0,(1)求a2、a3、a4；(2)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明

答案

1：
猜想
Tn=1/(n+1)
证明
T1= 1-1/2 = 1/2 = 1/(1+1)
T(n+1)
= Tn*[1-1/(n+1+1)]
= [1/(n+1)]*[1-1/(n+2))]
= [1/(n+1)]*[(n+1)/(n+2)]
= 1/(n+2)
= 1/[(n+1)+1]
结果成立
命题得证
1：
猜想
Sn=n/(n+1)
证明
S1= 1/1*2 = 1/2 = 1/(1+1)
Sn+1
= Sn+1/(n+1)(n+1+1)
= n/(n+1)+1/(n+1)(n+2)
= [n(n+2)+1]/(n+1)(n+2)
= (n^2+2n+1)/(n+1)(n+2)
= (n+1)^2/(n+1)(n+2)
= (n+1)/(n+2)
= (n+1)/[(n+1)+1]
结果成立
命题得证
3：
(1)
a2
=3a1/(a1+3)
=3/4
a3
=3a2/(a2+3)
=3/5
a4
=3a3/(a3+3)
=1/2 (= 3/6)
（2）
猜想
an=3/(n+2)
证明
a1=3/(1+2)=1
a2,a3,a4也满足条件
a(n+1)
=3an/(an+3)
=[3*3/(n+2)]/[3+3/(n+2)]
上下同乘以（n+2）
=9/[3(n+2)+3]
=3/(n+2+1)
=3/[(n+1)+2]
结果成立
命题得证