[高中数学]简单的抛物线填空题.

题目

[高中数学]简单的抛物线填空题.
曲线f(x)=x~3+x~2+x=3在x=1处的切线与抛物线y~2=2px(p>0)相切,则此抛物线的通经长为多少?
请无比写出推导过程``万分感激!..
不好意思``"在x=1处"错了..应该是"在x=-1处"
正确答案是32 按你的方法做不对``

答案

解:f(x)=x~3+x~2+x+3的导数为g(x)=3x^2+2x+1,
当x=-1时,g(x)=3x^2+2x+1=2,
即切线斜率为2.
当x=-1时,f(x)=x~3+x~2+x+3=2
故抛物线y~2=2px的切线也过点(-1,2),
故抛物线y~2=2px的切线为:y-2=2*(x+1),即y=2x+4,
由切线与抛物线y~2=2px(p>0)相切,
故把2x=y-4代入y~2=2px,得
y^2=2px=p*(y-4),即y^2-py+4p=0
故判别式=p^2-4*4p=0,
得p=16或p=0(不合,舍去)
由抛物线的通径长为连结通过焦点而垂直于轴直线与抛物线两交点的线段,
故抛物线的通径长为2p=32