在直角三角形ACB中,AD是斜边BC上的高,用向量法证明AD*AD=BD*DC

题目

在直角三角形ACB中,AD是斜边BC上的高,用向量法证明AD*AD=BD*DC

答案

首先,你先自己画好图.（不好意思,我这没有画图工具,只能用文字表示了）
方法一：
在三角形ABD中向量AD=向量AB+向量BD
在三角形ACD中向量AD=向量AC+向量CD
AD*AD=AB*AC+AB*CD+BD*AC+BD*CD
AB*AC=0（因为夹角为90度 ,a·b=｜a｜*｜b｜cosθ）
AB*CD+BD*AC=0
方法二：然后将向量AB表示为AD-BD,
向量AC表示为AD+DC,向量BC表示为BD+DC.再然后利用勾股定理：AB^2+AC^2=BC^2,将上面表示的向量代入勾股定理.（为简便起见,后面的向量两字就省略啦!^_^）
(AD-BD)^2+(AD+DC)^2=(BD+DC)^2,
化简得AD^2=AD*BD+AD*DC+BD*DC,即AD^2=AD(BD+DC)+BD*DC,AD^2=AD*BC+BD*DC.又因AD与BC垂直,它们的向量乖积为0,所以：AD^2=BD*DC.
多看看书就会做啦!加油哦!