半径为5的圆O内有一点P,且OP=4 则过点P的最短弦长为( ),最长弦长为( )

半径为5的圆O内有一点P,且OP=4 则过点P的最短弦长为( ),最长弦长为( )

题目
半径为5的圆O内有一点P,且OP=4 则过点P的最短弦长为( ),最长弦长为( )
最短的就是6 最长是10
最短的就是垂直于op的 最长的就是经过op的也就是直径
为什么呢?
答案
在圆中,直径是最长的弦,所以最长的是过op的直径
垂直于op的弦是最短的,可以简单的证明一下:
任作一条过p的弦CD,设AB是过p点且垂直于op的弦
由相交弦定理,CP*DP=AP*BP=定值
由均值不等式,4*CP*DP=2倍根号项CP*DP,当且仅当cp=dp时取等号
cp+dp就是过p点的弦长,所以 弦长>=2倍根号项CP*DP
当且仅当cp=dp时取得最小值,此时CD与AB重合,所以AB就是最短弦
如果你还没上高中,没学过均值不等式,也可以观察图形的变化.
弦长的一半 (d/2)^2=(r/2)^2-(弦心距)^2
圆的半径是定值,所以当弦心距最大时,d有最小值
很明显,当弦与op垂直时,弦心距最大;当弦与op重合时弦心距最小(为0)
所以,弦与op垂直时,最短;弦与op重合时最长
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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