求极限lim(n→∞) ∏(k=2~n)(k^3-1)/(k^3+1)

题目

求极限lim(n→∞) ∏(k=2~n)(k^3-1)/(k^3+1)

答案

利用立方和公式x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)
∏(k=2~n)(k^3-1)/(k^3+1)
=∏(k=2~n)(k-1)(k^2+k+1)/[(k+1)(k^2-k+1)]
显然,其中很多项分子和分母是一样的,可以约分
其中k-1和k+1这部分,剩下的是(2-1)(3-1)/[n(n+1)]=2/(n^2+n)
而(k+1)^2-(k+1)+1=k^2+k+1
所以中间项均可约去,剩下的是(n^2+n+1)/(2^2-2+1)=(n^2+n+1)/3
显然,原极限=2(n^2+n+1)/[3(n^2+n)]=2/3