设A（x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y=2x^2上,l是AB的垂直平分线

题目

设A（x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y=2x^2上,l是AB的垂直平分线
当直线l的斜率为2时,求l在y 轴上截距的取值范围

答案

设AB中点M(xm,ym),设AB的垂直平分线l:y=2x+b
由kAB=-1/2 ,设lAB:y=-1/2x+m
因为A,B在物线y=2x^2上
y1=2x1^2
y2=2x2^2
y1-y2=2(x1+x2)(x1-x2)
(y1-y2)/(x1-x2)=2(x1+x2)=kAB=-1/2
x1+x2=-1/4
xm=-1/8 ,
因为M在lAB上,则M(-1/8,1/16+m)
由M在抛物线内部
得,1/16+m>2*(-1/8)^2
m>-1/32
又M在l上
1/16+m=2*(-1/8)+b
得,b=5/16+m
所以 b>9/32
l在y 轴上截距的取值范围（9/32,+∞）