1.已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c.

题目

1.已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c.
(1)若a>b>c,f(1)=0,是否存在实数m,使得当f(m)=-a成立时,f(m+3)为正数?若存在,证明你的结论;若不存在,说明理由.
(2)若x1＜x2,f(x1)≠f(x2),且方程f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]有两个不同的实数根,求证:必有一实数根在x1与x2之间.
2.定义在正实数集上的函数f（x）满足下列条件：①f(a)=1(a＞1)②x∈R*时,有f（x^m）=mf(x).
(1)求证：f(xy)=f(x)+f(y);
(2)证明：f(x)在正实数集上单调递增
(3)若不等式f(x)+f(4-x)≤2恒成立,求实数a的取值范围.

答案

1.（1）.首先可知：b^2-4ac>=0,a+b+c=0
若f(m)=-a成立,即b^2-4ac>0,要求证明f(m+3)>0,即需要证明ax^2+bx+c=0的两个解的差小于或等于3,即b^2-4ac