已知函数f(x)=x+1x,x>0x3+9,x≤0,若关于x的方程f(x2+2x)=a(a∈R)有六个不同的实根,则a的取值范围是(  ) A.(2,8] B.(2,9] C.(8,9] D.(8,9

已知函数f(x)=x+1x,x>0x3+9,x≤0,若关于x的方程f(x2+2x)=a(a∈R)有六个不同的实根,则a的取值范围是(  ) A.(2,8] B.(2,9] C.(8,9] D.(8,9

题目
已知函数f(x)=
x+
1
x
,x>0
x3+9,x≤0
,若关于x的方程f(x2+2x)=a(a∈R)有六个不同的实根,则a的取值范围是(  )
A. (2,8]
B. (2,9]
C. (8,9]
D. (8,9)
答案
令t=x2+2x=(x+1)2-1,则t≥-1,
函数f(t)=
t+
1
t
, t>0
t3+9 ,−1≤t≤0

由题意可得,函数f(t)的图象与直线y=a 有3个不同的交点,
且每个t值有2个x值与之对应,如图所示:
由于当t=-1时,f(t)=8,此时,t=-1对应的x值只有一个x=-1,不满足条件,故a的取值范围是 (8,9],
故选C.
令t=x2+2x,则t≥-1,f(t)=
t+
1
t
, t>0
t3+9 ,−1≤t≤0
.由题意可得,函数f(t)的图象与直线y=a 有3个不同的交点,且每个t值有2个x值与之对应,数形结合可得a的取值范围.

函数的零点与方程根的关系.

本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,体现了数形结合的数学思想及等价转化的数学思想,属于中档题.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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