证明函数 f (x) = x D (x)在 x = 0 点连续.

题目

证明函数 f (x) = x D (x)在 x = 0 点连续.

答案

证明如下：D(X)是狄利克雷函数,它属于分段函数D(X)=0 (x是无理数) 或1 (x是有理数)
当X趋于0- 时,f (x)的极限是0.因为很显然D(X)是有界函数,而X是无穷小.根据“无穷小和有界函数的乘机是无穷小”.可知f (x)的极限是0.
当X趋于0+时,同理可得f (x)的极限是0,
而f (0)=0 ,故有,f (0-)=f (0+)=f (0)
由极限的定义可知.函数 f (x) = x D (x)在 x = 0 点连续.