已知(1+a)(1-b)(1-c)(1+d)=1,a>0,b>0,c>0,d>0,证明a+d>b+c,不等式

题目

已知(1+a)(1-b)(1-c)(1+d)=1,a>0,b>0,c>0,d>0,证明a+d>b+c,不等式

答案

设m=a+1,n=1+d,p=1-c,q=1-b
已知条件可以化为mnpq=1,不妨设t=mn=1/(pq)>1
a+d-b-c
=(1+a)+(1-b)+(1-c)+(1+d)-4
=m+n+p+q-4
=m+t/m+p+1/(pt)-4
≥2√(m*t/m)+2√(p*1/(pt))-4
=2√t+2√(1/t)-4
≥2*2√(√t*√(1/t))-4
=0
当t=1/t即t=1时等号成立
但t>1
所以a+d-b-c>0
即a+d>b+c