已知△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ‖AB,P在AC边上

题目

已知△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ‖AB,P在AC边上
如图已知,△ABC中,AB＝5,BC＝3,AC＝4,PQ‖AB,P点在AC上（与点A、C不重合）,Q点在BC上.（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长.（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长.（3）试问：在AB上是否存在点M,使得△PQM为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由；若存在,请求出PQ的长.
前两问没问题,
△ABC中,AB＝5,BC＝3,AC＝4
所以△ABC为直角三角形,AB为斜边
△ABC的面积=3*4/2=6
（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等
所以△PQC=3
PQ‖AB
CP：4=CQ:3
CQ=3CP/4
△PQC=1/2*CQ*CP=3/8*CP^2=3
CP=2*根号2
（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等
CP+CQ+PQ=PQ+BQ+AP+AB
CP+CQ=3+4+5-CP-CQ
CP+CQ=6
CP：4=CQ:3
CP=24/7

答案

分三种情况讨论,角MPQ为直角,角MPQ为直角,角PMQ为直角
首先角MPQ为直角
可知△MQB相似△PCQ PQ=MQ
可解得PQ=60/37
同样的角MPQ为直角时PQ=60/37
角PMQ为直角时
用面积来求 分成一个梯形和三角形
梯形的高就是△PQM的高
可解得PQ=120/49