1990年3月,紫金山天文台将1965年9月20日发现的经2752号小行星命名为吴建雄星,其直径为32km,如该小行星的密度与地球相同,则该小行星的第一宇宙速度为多少?（已知地球半径R=6400km,

题目

1990年3月,紫金山天文台将1965年9月20日发现的经2752号小行星命名为吴建雄星,其直径为32km,如该小行星的密度与地球相同,则该小行星的第一宇宙速度为多少?（已知地球半径R=6400km,地球的第一宇宙速度v1=79km/s）

答案

设小行星质量为M',小行星第一宇宙速度v2,半径r
卫星在地球或小行星表面运行时的速度为第一宇宙速度
此时地球或小行星半径为卫星环绕半径,由万有引力定律得
GMm/R²=mv1²/R
GM'm/r²=mv2²/r
两式相除得M/M'=(v1²R)/(v2²r)①
由小行星的密度与地球相同
将小行星和地球看成球体,则体积分别为
(4/3)πr³,(4/3)πR³
由密度为质量除体积
M/[(4/3)πR³]=M'/[(4/3)πr³]
M/M'=R³/r³②
将②代入①得(v1²R)/(v2²r)=R³/r³
v1/v2=R/r
v2=v1r/R
小行星直径为32km则半径16km
r/R=1/400
v2=79000/400=197.5m/s