已知数列{an}满足a1=1,an+1=Sn+(n+1)(n∈N*),其中Sn为{an}的前n项和, (1)用an表示an+1; (2)证明数列{an+1}是等比数列; (3)求an和Sn.
题目
已知数列{an}满足a1=1,an+1=Sn+(n+1)(n∈N*),其中Sn为{an}的前n项和,
(1)用an表示an+1;
(2)证明数列{an+1}是等比数列;
(3)求an和Sn.
答案
(1)由a
n+1=S
n+(n+1)①
得出n≥2时
a
n=S
n-1+n ②
①-②得出
a
n+1-a
n=a
n+1
整理a
n+1=2a
n+1.(n≥2)
由在①中令n=1得出a
2=a
1+2=3,满足a
2=2a
1+1
所以a
n+1=2a
n+1.(n≥1)
(2)在a
n+1=2a
n+1两边同时加上1得出
a
n+1+1=2(a
n+1)
根据等比数列的定义,得出数列{a
n+1}是以2为公比的等比数列
(3)由(2)数列{a
n+1} 的通项公式为a
n+1=2•2
n-1=2
n
所以a
n=2
n-1,
S
n=(2
1-1)+(2
2-1)+…(2
n-1)
=
-n
=2
n+1-2-n.
举一反三
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