如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E． 求证：∠CDA=∠EDB．

题目

如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．
求证：∠CDA=∠EDB．

答案

作CF⊥AB于F，交AD于G，如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACF=∠BCF=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，
∵CE⊥AD，
∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE=90°，
∴∠1=∠2，
在△AGC和△CEB中

∠1＝∠2 AC＝CB ∠ACG＝∠CBE

，
∴△AGC≌△CEB（ASA），
∴CG=BE，
∵AD为腰CB上的中线，
∴CD=BD，
在△CGD和△BED中

CG＝BE ∠GCD＝∠B CD＝BD

，
∴△CGD≌△BED（SAS），
∴∠CDA=∠EDB．

作CF⊥AB于F，交AD于G，根据等腰直角三角形的性质得到∠ACF=∠BCF=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，由CE⊥AD，根据等角的余角相等得到∠1=∠2，则可根据“ASA”判断△AGC≌△CEB，得到CG=BE，然后根据“SAS”证明△CGD≌△BED，则可得到∠CDA=∠EDB．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等腰直角三角形的性质．