已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n+3an/2.数列{bn}是等差数列,b2=a2,b20=a4

题目

已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n+3an/2.数列{bn}是等差数列,b2=a2,b20=a4
求｛an｝的通项公式,求数列｛bn/（an-1）｝的前n项和Tn

答案

n=1时,
S1=a1=1+3a1/2
a1/2=-1
a1=-2
n≥2时
Sn=n+3an/2 S(n-1)=(n-1)+3a(n-1)/2
Sn-S(n-1)=an=n+3an/2 -(n-1)-3a(n-1)/2
an =3a(n-1) -2
an -1=3a(n-1)-3=3[a(n-1)-1]
(an -1)/[a(n-1)-1]=3,为定值
a1-1=-2-1=-3
数列{an -1}是以-3为首项,3为公比的等比数列.
an -1=(-3)×3^(n-1)=-3ⁿ
an=1-3ⁿ
数列{an}的通项公式为an=1-3ⁿ
设{bn}公差为d
b2=a2=1-9=-8 b20=a4=1-81=-80
b20-b2=18d=-80-(-8)=-72
d=-4
b1=b2-d=-8-(-4)=-4
bn=b1+(n-1)d=-4+(-4)(n-1)=-4n
bn/(an -1)=-4n/(-3ⁿ)=4n/3ⁿ
Tn=b1+b2+...+bn
=4(1/3+2/3²+3/3³+...+n/3ⁿ)
令Cn=1/3+2/3²+3/3³+...+n/3ⁿ
则Cn/3=1/3²+2/3³+...+(n-1)/3ⁿ+n/3^(n+1)
Cn-Cn/3=(2/3)Cn=1/3+1/3²+...+1/3ⁿ -n/3^(n+1)
=(1/3)(1-1/3ⁿ)/(1-1/3) -n/3^(n+1)
=(1/2)(1-1/3ⁿ) -n/3^(n+1)
Cn=(3/2)(1/2)(1-1/3ⁿ) -(3/2)[n/3^(n+1)]
=(3/4)(1-1/3ⁿ) -n/(2×3ⁿ)
Tn=4Cn=3(1-1/3ⁿ) -2n/3ⁿ=3 -(2n+3)/3ⁿ