动点 二次函数 24题

题目

动点 二次函数 24题
抛物线与X轴交与A（-1,0） B（4,0） 与Y轴交于点C,且以A B C为顶点的三角形是直角三角形 问：1.点M是线段AB上的一个动点 过点M做MN//BC 交AC于N 连接CM 求三角形CMN的面积最大值

答案

设C(0,c),那么AC的斜率k1=c/1=c,BC的斜率k2=c/(-4)=-c/4
由于AC⊥BC,所以k1*k2=-1,即-c²/4=-1,解得c=±2,即C(0,2)或(0,-2)
设M的坐标为(m,0)
又BC//MN,那么MN⊥AC,且△AMN∽△ABC,所以AN/AC=AM/AB
由于M在线段AB上,所以-1≤m≤4,AM=m-(-1)=m+1,AB=4+1=5
△CMN是直角三角形,S△CMN=1/2 * MN * CN
而S△AMC=1/2 * MN * AC
所以S△CMN/S△AMC=CN/AC=1-AN/AC=1-AM/AB=1-(m+1)/5=(4-m)/5
又S△AMC=1/2 * AM *CO=1/2 * (m+1)* 2=m+1
所以S△CMN=(4-m)(m+1)/5=-1/5[(m+1)(m-4)]=-1/5(m-3/2)²+5/4≤5/4
由于-1≤m≤4,所以,当m=3/2时,CMN面积最大,为5/4