如图所示，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线分别交AC，AD于E，F点，EG⊥BC，若BA=6，AC=8，AD=10． （1）求FD的长； （2）求△BEC的面积．

题目

如图所示，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线分别交AC，AD于E，F点，EG⊥BC，若BA=6，AC=8，AD=10．

（1）求FD的长；
（2）求△BEC的面积．

答案

（1）∵平行四边形ABCD，
∴BC=AD=10，AB=CD=6，AD∥BC，
在△ABC中，BA=6，AC=8，BC=10，由勾股定理的逆定理得BA²+AC²=BC²，
∴△ABC为Rt△，∠BAC=90°，
∵AD∥BC，
∴∠CBF=∠AFB，∠DAE=∠BCE，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=6（等角对等边），
∴FD=AD-AF=10-6=4．
（2）由（1）知△AEF∽△CEB，
∴AF：BC=AE：EC，
∴AF：（AF+BC）=AE：（AE+EC）即6：（6+10）=AE：8，
∴AE=3
∵E是∠ABC的平分线BF上的点，EG⊥BC，EA⊥AB，
∴EG=AE=3，
S_△BEC=

1

2

×10×3=15．