怎么证明若an的极限为a则sin an的极限为sin a

题目

怎么证明若an的极限为a则sin an的极限为sin a

答案

　　对任意ε>0,由 an→a,存在 N,使当 n>N 时,有
　　　　|an-a| < ε,
此时,
　　　　|sin(an)-sina|
　　　= 2|sin[(an-a)/2]cos[(an+a)/2]|
　　　≤ 2|sin[(an-a)/2]|
　　　≤ 2|(an-a)/2|
　　　= |an-a| < ε,
得证.