已知r(A)=r(B),且AX=O的解一定为BX=0的解,能不能说明AX=0与BX=0为同解方程组

题目

已知r(A)=r(B),且AX=O的解一定为BX=0的解,能不能说明AX=0与BX=0为同解方程组

答案

设 AX=O的解空间为 M,BX=O的解空间为 N
首先由 AX=O的解一定为BX=0的解 可知,M⊆N
另一方面 ,dimM=n-r(A)=n-r(b)=dimN
从而,M=N,也就是说 AX=0与BX=0为同解方程组