设a^2+2a-1=0,b^4-2b^2-1=0,且1-ab^2≠0,求[(ab^2+b^2-2a+1)/a]^2003=

题目

设a^2+2a-1=0,b^4-2b^2-1=0,且1-ab^2≠0,求[(ab^2+b^2-2a+1)/a]^2003=

答案

令-a=c,b²=d
因为a²+2a-1=0,b⁴-2b²-1=0
所以c²-2c-1=0,d²-2d-1=0
所以c、d都是关于x的二元一次方程x²-2x-1的根.
又因为1-ab²≠0
所以1+cd≠0
cd≠-1
所以c、d是方程x²-2x-1的同一根（即c=d）.
所以(ab²+b²-2a+1)/a
=(-cd+d+2c+1)/(-c)
=(-c²+c+1)/(-c)
=(c²-c-1)/c
=(c²-2c-1+c)/c
=c/c
=1
所以[(ab²+b²-2a+1)/a]^2003=1