若对任何的x属于[-π/6,π/6]不等式2cosx^2-sinx+a>0,求a的取值范围

题目

若对任何的x属于[-π/6,π/6]不等式2cosx^2-sinx+a>0,求a的取值范围

答案

先观察整个式子
看第一项,2cosx²=2(1-sin²x),这样整个式子中含x项的只有sinx.不妨设sinx=t t属于[-1/2,1/2]
则上个式子可以写成
2(1-t²)-t+a整理得到：-2（t+1/4）²+17 /8+a
容易看出,该式子最大值为a+2 (t=-1/2);最小值为a+1 (t=1/2)
若式子的最小值大于0则整个式子的所有取值都会大于0
即a+1>0,即a>-1时,无论t,也即sinx,也即x,在定义域内去任何值,都会有该式子大于0
所以a>-1