已知直线l上三点的极坐标为A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2),C(ρ3,θ3)且ρ1、ρ2、ρ3均为正数,求证

题目

已知直线l上三点的极坐标为A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2),C(ρ3,θ3)且ρ1、ρ2、ρ3均为正数,求证
sin(θ2-θ3)/ρ1+ sin(θ3-θ1)/ρ2+ sin(θ1-θ2)/ρ3=0

答案

设直线上三点分别为：(x1,y1),(x2,y2),(x3.y3)
它们在一条直线上时满足：（y2-y1)/(x2-x1)=（y3-y1)/(x3-x1)
化简后得：(x2y3-y2x3)+(x3y1-y3x1)+(x1y2-y1x2)=0
将 x1=ρ1cosθ1 y1=ρ1sinθ1
x2=ρ2cosθ2 y2=ρ2sinθ2
x3=ρ3cosθ3 y3=ρ3sinθ3
带入,化简即得：sin(θ2-θ3)/ρ1+ sin(θ3-θ1)/ρ2+ sin(θ1-θ2)/ρ3=0