设S=x2+2xy+2y2+2x+1，其中x∈R，y∈R，则S的最小值为（　　） A.1 B.-1 C.−34 D.0

题目

设S=x²+2xy+2y²+2x+1，其中x∈R，y∈R，则S的最小值为（　　）
A. 1
B. -1
C. −

3

4

答案

解法一：
x²+（2y+2）x+（2y²+1-S）=0，
由△=（2y+2）²-4（2y²+1-S）≥0
得S≥y²-2y=（y-1）²-1≥-1．
当且仅当y=1，x=-2时，S_min=-1．
故选B．
解法二：
S=x²+2xy+2y²+2x+1=x²+2（y+1）x+（y+1）²+y²-2y=（x+y+1）²+（y-1）²-1≥-1．
当且仅当y=1，x=-2时，S_min=-1．选B．