已知二次函数f(x)满足:f(0)=f(1)=1且不等式f(x)≥x对于x属于R恒成立,求函数f(x)的表达式

题目

已知二次函数f(x)满足:f(0)=f(1)=1且不等式f(x)≥x对于x属于R恒成立,求函数f(x)的表达式
已知二次函数f(x)满足:f(0)=f(1)=1且不等式f（x）≥x对于x属于R恒成立,求函数f（x）的表达式

答案

解设f（x）=ax²+bx+c
由f(0)=1
即f（0）=a0²+b*0+c=1,即c=1
即f（x）=ax²+bx+1
又有f(1)=1
即a*1²+b*1+1=1
即a+b=0
即b=-a
即f（x）=ax²-ax+1
又有f（x）≥x对于x属于R恒成立
即ax²-ax+1≥x对于x属于R恒成立
即ax²-ax-x+1≥0对于x属于R恒成立
即ax²-（a+1）x+1≥0对于x属于R恒成立
即a＞0且Δ≤0
即a＞0且Δ=[-（a+1）]²-4a≤0
即a＞0且Δ=a²+2a+1-4a≤0
即a＞0且Δ=a²-2a+1≤0
即a＞0且Δ=（a-1）²≤0
即a=1
即f（x）=x²-x+1