在△ABC中,若sinBsinA=2cos(A+B),则tanB的最大值是(  ) A.33 B.22 C.1 D.2

在△ABC中,若sinBsinA=2cos(A+B),则tanB的最大值是(  ) A.33 B.22 C.1 D.2

题目
在△ABC中,若
sinB
sinA
=2cos(A+B),则tanB的最大值是(  )
A.
3
3

B.
2
2

C. 1
D. 2
答案
△ABC中,∵sinA>0,sinB>0,∴
sinB
sinA
=2cos(A+B)=-2cosC>0,即cosC<0,
∴C为钝角,sinB=-2sinAcosC.
又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
∴sinAcosC+cosAsinC=-2sinAcosC,即cosAsinC=-3sinAcosC,
∴tanC=-3tanA,
∴tanB=-tan(A+C)=-
tanA+tanC
1−tanAtanC
=-
−2tanA
1+3tan2A
=
2
1
tanA
+3tanA
2
2
3
=
3
3

当且仅当
1
tanA
=3tanA时,即tanA=
3
3
时取等号,
则tanB的最大值为
3
3

故选:A.
由条件求得cosC<0,确定出C为钝角,利用诱导公式及三角形的内角和定理化简已知等式的左边,得到sinB=-2sinAcosC,再由sinB=sin(A+C),化简得到tanC=-3tanA,将tanB化简为-tan(A+C),利用两角和与差的正切函数公式化简,将tanC=-3tanA代入,变形后利用基本不等式求出tanB的范围,即可得到tanB的最大值.

两角和与差的余弦函数;同角三角函数基本关系的运用.

此题考查了同角三角函数间的基本关系,两角和与差的正弦、正切函数公式,以及基本不等式的运用,熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键,属于中档题.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.