如图,在边长为1的正三角形ABC中,E,F分别是AB,AC上的点,向量AE=m向量AB,向量AF=n

题目

如图,在边长为1的正三角形ABC中,E,F分别是AB,AC上的点,向量AE=m向量AB,向量AF=n

答案

向量AE=m向量AB,向量AF=n向量AC,x0dEF的中点为M,x0d则向量AM=0.5(向量AE+向量AF)=0.5(m向量AB+n向量AC),x0d而BC的中点为N,x0d则向量AN=0.5(向量AB+向量AC),x0d因为AMN三点共线,x0d则向量AM=t向量AN,即m向量AB+n向量AC=t(向量AB+向量AC),x0d所以m=n向量MN=向量MA+向量AN=-0.5(m向量AB+n向量AC)+0.5(向量AB+向量AC)=0.5[(1-m)向量AB+(1-n)向量AC],x0d而m+n=1,则向量MN=0.5[(1-m)向量AB+m向量AC],x0d所以|向量MN|^2=0.25[(1-m)^2+m^2+m(1-m)]x0d=0.25*(m^2-m+1)x0d即当m=0.5时,向量MN的绝对值的最小值为(根号3/4)