已知F（x）=∫x0(t2+2t-8)dt，（x＞0）． （1）求F（x）的单调区间； （2）求函数F（x）在[1，3]上的最值．

题目

已知F（x）=

∫

x 0

(t2+2t-8)dt，（x＞0）．
（1）求F（x）的单调区间；
（2）求函数F（x）在[1，3]上的最值．

答案

依题意得，F(x)=∫x0(t2+2t-8)dt=(13t3+t2-8t)|x0=13x3+x2-8x，定义域是（0，+∞）．（2分）（1）F'（x）=x2+2x-8，令F'（x）＞0，得x＞2或x＜-4； 令F'（x）＜0，得-4＜x＜2，且函数定义域是（0，+∞），∴函数F（x...

（1）由定积分计算公式，结合微积分基本定理算出F(x)=

1

3

x3+x2-8x．再利用导数，研究F'（x）的正负，即可得到函数F（x）的单调增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．
（2）根据F（x）的单调性，分别求出F（1）、F（2）、F（3）的值并比较大小，可得F（x）在[1，3]上的最大值是F（3）=-6，最小值是F(2)=-

28

3

．

本题考点：微积分基本定理；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本题利用定积分求一个函数的原函数，并研究原函数的单调性和闭区间上的最值．着重考查了定积分计算公式、利用导数研究函数的单调性与最值等知识，属于中档题．