已知如图,CD是RT△ABC斜边上的高,∠A的平分线交CD于H,交∠BCD的平分线于G, 求证:HF∥BC.
题目
已知如图,CD是RT△ABC斜边上的高,∠A的平分线交CD于H,交∠BCD的平分线于G,
求证:HF∥BC.
答案
证明:连接FE,
∵CD是Rt△ABC斜边上的高,
∴∠A=∠DCB,
又∵AE平分∠A,CF平分∠BCD,
∴∠DCF=∠DAE,
又∵∠AHD=∠CHE,∠ADH=90度,
∴∠CGE=90度,
在三角形ACF中,AE是高,中线,角平分线,
∴CF⊥HE,CG=FG,
∴CH=FH,CE=EF,
∴CF是△CHE的高,中线,角平分线,
∴CH=CE,
∴CH=HF=EF=CE,
∴四边形HCEF是菱形,
∴HF∥BC.
根据角平分线性质作辅助线连接FE,进而证得HCEF是菱形从而证得.
角平分线的性质;全等三角形的判定与性质.
本题考查了角平分线性质以及其应用,问题有一定难度.
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