如图，△ABC中，AB=2，BC=23，AC=4，E，F分别在AB，AC上，沿EF对折，使点A落在BC上的点D处，且FD⊥BC． （1）求AD的长； （2）判断四边形AEDF的形状，并证明你的结论．

题目

如图，△ABC中，AB=2，BC=2

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，AC=4，E，F分别在AB，AC上，沿EF对折，使点A落在BC上的点D处，且FD⊥BC．
（1）求AD的长；
（2）判断四边形AEDF的形状，并证明你的结论．

答案

（1）因为AB=2，BC=23，AC=4，∴AC2=AB2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∠B=90°，又∵AC=2AB，∴∠C=30°，∠BAC=60°由FD⊥BC，得∠DFC=60°，又∵AF=DF，∴∠FAD=∠FDA=30°，∴∠DAB=30°，∴ADcos30°=AB，得AD＝4...

（1）因为AC²=AB²+BC²，根据勾股定理和逆定理知，△ABC是直角三角形，∠B=90°，由折叠的性质知，AF=DF，∠AFE=∠DFE=（180°-∠DFC）÷2=60°，则EF是等腰三角形△AFD的顶角的平分线，也是△AFD的底边上的高所在的直线，∴EF⊥AD，所以∠FAD=∠FDA=30°，所以∠DAB=30°，由ADcos30°=AB，而求得AD的值．
（2）由（1）知，先证AEDF是平行四边形，再证AF=FD，所以四边形AEDF是菱形．

本题考点：菱形的判定；翻折变换（折叠问题）；特殊角的三角函数值．

考点点评：本题利用了：
1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；
2、勾股定理，直角三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质、平行四边形和菱形的判定和性质求解．