求函y=sinx-cosx+sinxcosx(0

题目

求函y=sinx-cosx+sinxcosx(0

答案

设sinx-cosx=t,则
t＝√2sin(x-π/4),
∵x∈(0,π),∴x-π/4∈(-π/4,3π/4),
∴-√2/2＜sin(x-π/4)≤1,
∴-1＜t≤√2.
又两边平方,有1-2sinxcosx=t^2
∴sinxcosx=(1-t^2)/2
∴y=sinx-cosx+sinxcosx=t+(1-t^2)/2
＝(-1/2)(t^2-2t)+(1/2)
=(-1/2)(t-1)^2+1
∴当t＝1时,y(max)=1；
当t＝-1时,y(min)=-1；
(t=-1取不到,故y(min)=-1无法实现)
综上,得：y∈(-1,1],
即有最大值是1.最小值-1无法取到（没有最小值）.