f(x)在x0的某一去心邻域内无界是当x→x0时f(x）→无穷的 条件.

题目

f(x)在x0的某一去心邻域内无界是当x→x0时f(x）→无穷的 条件.
当x→x0时f(x）→无穷是f(x)在x0的某一去心邻内无界的 条件.说明原因,

答案

必要但不充分条件
如果趋于无穷,在那领域无界是显然的.
现在找一个在0点某邻域无界,但不为无穷的例子.
考虑 f(x)= 1/x*sin(1/x),在x→0时
取 an= 1/(2nπ),得到f(an)=0,说明有子列收敛于0
取 bn = 1/(2nπ+π/2),得到f(bn)= 2nπ+π/2
说明有子列趋向无穷,所以无界.
但两个子例并不全趋无穷,x→0时,不是无穷大.