设A为属于P上的n级方阵,满足A^2-3A+2E=0,W1为(A-2E)X=0的解空间,W2为(A-E)X=0的解空间,证明Pn =W1⊕W2

题目

设A为属于P上的n级方阵,满足A^2-3A+2E=0,W1为(A-2E)X=0的解空间,W2为(A-E)X=0的解空间,证明Pn =W1⊕W2

答案

对α属于P,有α=(A-E)α+(2E-A)α.由于A^2-3A+2E=0,有(A-E)α属于W1,(2E-A)α属于W2,即Pn=W1+W2.
　　对β属于W1∩W2,有β=(A-E)β+(2E-A)β=0+0=0,则W1∩W2={0}.
　　所以Pn =W1⊕W2.