集合 (5 8:40:26)

题目

集合 (5 8:40:26)
设f(x)=x2+px+q,A=｛x｜x=f(x)｝,B=｛x ｜f [ f(x) ]=x｝.  (1)求证:A包含于B;   (2)如果A=｛－1,3｝,求B.

答案

1.
设x0属于A
则f(x0)=x0
f[f(x0)]=f(x0)=x0
x0属于B
所以A是B的子集,即A包含于B
2.
因为A={-1,3}
即x=-1,x=3是方程x=f(x)的解
x=x²+ax+b
x²+(a-1)x+b=0
由韦达定理知
-1+3=-(a-1)
-1×3=b
解得a=-1,b=-3
f(x)=x²-x-3
所以f(f(x))=x即是
(x²-x-3)²-(x²-x-3)-3=x
(x²-x-3)²=x²
所以x²-x-3=x或x²-x-3=-x
即x²-2x-3=0或x²-3=0
解得x=-1,x=3,x=±根号3
所以B是一个包含4个元素的集合,它的四个元素是
-1,3,±根号3