一道关于极限和导数的数学分析题

题目

一道关于极限和导数的数学分析题
已知：f(x)满足对任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在0点可导,f'(0)=a.
证明：对任意实数x,都有f(x)连续可导.

答案

由f(x+y)=f(x)+f(y)得f(x+y)-f(x)=f(y),故
(f(x+y)-f(x))/y=f(y)/y,
由于f(x)在0点可导且f'(0)=a,故当趋于零时,f(y)/y=f(0+y)/y以f'(0)为极限,
于是当趋于零时,(f(x+y)-f(x))/y也以f'(0)为极限,即f(x)在任意x点上可导且对任意x有f'(x)=a.