常微分方程的几个问题

题目

常微分方程的几个问题
y'(2y-y')=y^2(sinx)^2
y'^2-2yy'=y^2(e^x-1)
求以上方程的通解

答案

求微分方程的通
1.y'(2y-y')=y²sin²x
-(y')²+2yy'-y²sin²x=0,即有(y')²-2yy'+y²sin²x=0；
故得y'=[2y±√(4y²-4y²sin²x)]/2=(2y±2ycosx)/2=y±ycosx=y(1±cosx)
分离变量得dy/y=(1±cosx)dx；积分之得lny=x±sinx+lnC
故得通解y=e^(x±sinx+lnC)=Ce^(x±sinx)；
2.(y')²-2yy'=y²(e^x-1)
(y')²-2yy'-y²(e^x-1)=0
故得y'=[2y±√(4y²+4y²(e^x-1)]/2=y±y√(e^x)=y[1±e^(x/2)]
分离变量得dy/y=[1±e^(x/2)]dx
积分之,得lny=x±∫e^(x/2)dx=x±2∫e^(x/2)d(x/2)=x±2e^(x/2)+lnC
故得通解y=e^[x±2e^(x/2)+lnC]=Ce^[x±2e^(x/2)]