已知函数f(x)=x2+alnx的图象与直线l:y=-2x+c相切,切点的横坐标为1.(1)求函数f(x)的表达式和直线l的方程;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)若不等式f(x)≥2x+m对f(
题目
已知函数f(x)=x2+alnx的图象与直线l:y=-2x+c相切,切点的横坐标为1.
(1)求函数f(x)的表达式和直线l的方程;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若不等式f(x)≥2x+m对f(x)定义域内的任意x恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(1)因为
f′(x)=2x+,所以-2=f'(1)=2+a,所以a=-4
所以f(x)=x
2-4lnx…(2分)
所以f(1)=1,所以切点为(1,1),所以c=3
所以直线l的方程为y=-2x+3…(4分)
(2)因为f(x)的定义域为x∈(0,+∞)所以由
f′(x)=>0得
x>…(6分)
由
f′(x)=<0得
0<x<…(7分)
故函数f(x)的单调减区间为
(0,),单调增区间为
(,+∞)…(8分)
(3)令g(x)=f(x)-2x,则
g′(x)=2x--2>0(x>0)得x>2
所以g(x)在(0,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数…(10分)
g(x)
min=g(2)=-4ln2,所以m≤g(x)
min=-4ln2…(11分)
所以当f(x)≥2x+m在f(x)的定义域内恒成立时,实数m的取值范围是(-∞,-4ln2]…(12分)
(1)求导数,利用导数的几何意义求直线方程.
(2)利用导数求函数的单调区间.
(3)将不等式转化为最值恒成立,然后利用导数求函数的最值.
A:利用导数求闭区间上函数的最值 B:利用导数研究曲线上某点切线方程
本题主要考查导数的综合应用,要求熟练掌握函数的单调性、最值和极值与导数的关系.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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