设a1,a2,...an.是n唯欧式空间R的一组基,证明,向量(b1,ai)=(b2,ai),(i=1,2...n.)则b1=b2

题目

设a1,a2,...an.是n唯欧式空间R的一组基,证明,向量(b1,ai)=(b2,ai),(i=1,2...n.)则b1=b2

答案

a1,a2,...an.是n唯欧式空间R的一组基,
等价于a1,a2,...an线性无关,
等价于以(a1,a2,...an)为系数矩阵的齐次方程组只有零解

假设存在b1-b2不等于0,使得(b1,ai)=(b2,ai),(i=1,2...n.),
则：（b1-b2,ai）=0
b1-b2不等于0是以(a1,a2,...an)为系数矩阵的齐次方程组的解,
与只有零解矛盾.
因此,向量(b1,ai)=(b2,ai),(i=1,2...n.)则b1=b2