3sinx+4cosx=5,有一种求tanx的方法想不通.

题目

3sinx+4cosx=5,有一种求tanx的方法想不通.
已知3sinx+4cosx=5,求tanx
这道题是交流群小亮亮提出来的,当然大家肯定见过很多次.
常见做的做法与方程组sin²x+cos²x=1联立,然后求解sinx,cosx即可.这也是正规的解法,建议大家学习.
下面扯点不建议大家学习的方法,方法的东西不是一味追求“巧”,通用的才是最好的.
方法一）求导：3sinx+4cosx=5,
对左右求导有：3cosx-4sinx=0,∴tanx=3/4；
这个方法貌似很不错,同学们发现一种方法很好用的时候,切忌一定要明白它的使用范围,为什么成立,否则容易出问题.
咱们看原因：假设函数y=3sinx+4cosx,此时当x=某个值的时候,取最大值,求导y片=0；这是要点,正好在此函数求导=0时,取极值点.而恰巧3sinx+4cosx=5在此时取值x 等于求导为0的x值.恰巧,巧合之极!
∴这道题稍微修改一下是不行的,比如3sinx+4cosx=24/5,那就不行了.
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我想问的是这个证法的逻辑是否严密?因为我认为当y prime=0的时候tanx=3/4不能证明原式一定成立.

答案