已知函数f(x)=x^3+x g(X)=sinx(2-cos^2x) 判断并证明f(x) g(x)的图像的交点个数

题目

已知函数f(x)=x^3+x g(X)=sinx(2-cos^2x) 判断并证明f(x) g(x)的图像的交点个数

答案

f(x)=x³+x
g(x)=sinx(2-cos²x)
=sinx(1+1-cos²x)
=sinx(1+sin²x)
=sin³x+sinx
令h(x)=f(x)-g(x)
h'(x)=3x²+1-3sin²xcosx-cosx
=3(x²-sin²xcosx)+1-cosx
≥3(x²-sin²x)=(x+sinx)(x-sinx)
令t(x)=x±sinx
t'(x)=1-(+)cosx
x∈(0,π)
1-(+)cosx>0
所以t(x)是增函数
t(x)>f(0)=0
所以x±sinx>0
x≥π时,
∵sinx≤1
∴x±sinx>0
∴当x>0时,h'(x)>0
∴h(x)单调递增
h(x)>h(0)=0
∴f(x)-g(x)>0
∵f(x)与g(x)均为奇函数,均通过原点且关于原点对称.
∴交点只有一个,即原点.