已知f(x)=x-a/x(a>0),g(x)=2lnx+bx,且直线y=2x-2与曲线y=g(x)相切. (Ⅰ)求b的值; (Ⅱ)若对[1,+∞)内的一切实x,不等式f(x)≥g(x)恒成立,求实数a
题目
答案
(Ⅰ)设点(x
0,y
0)为直线y=2x-2与曲线y=g(x)的切点,
则有2lnx
0+bx
0=2x
0-2 (*)
∵
g′(x)=+b,
∴
+b=2 (**)
联立(*)(**)两式,解得b=0;
(Ⅱ)∵b=0,
∴g(x)=2lnx.
由f(x)≥g(x)整理,得
≤x−2lnx,
∵x≥1,
∴要使不等式f(x)≥g(x)恒成立,必须a≤x
2-2xlnx恒成立.
设h(x)=x
2-2xlnx,
h′(x)=2x−2(lnx+x•)=2x−2lnx−2,
再设m(x)=2x-2lnx-2,
∴当x≥1时,m′(x)>0,则h′(x)是增函数,
∴h′(x)≥h′(1)=0,h(x)是增函数,h(x)≥h(1)=1,
∴a≤1.
举一反三
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