如图,在矩形ABCD中,AF、BE、CE、DF分别是矩形的四个角的角平分线,E、M、F、N是其交点,求证:四边形EMFN是正方形.
题目
如图,在矩形ABCD中,AF、BE、CE、DF分别是矩形的四个角的角平分线,E、M、F、N是其交点,求证:四边形EMFN是正方形.
答案
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴四个内角均为90°,
∵AF,BE,CE,DF分别是四个内角的平分线,
∴∠EBC=∠ECB=45°,
∴△EBC为等腰直角三角形,
∴∠E=90°,
同理∠F=∠EMF=∠ENF=90°,
∴四边形MFNE为矩形,
∵AD=BC,∠E=∠F=90°,∠DAF=∠EBC=45°,
∴△DAF≌△CBE(AAS)
∴AF=BE,
∵AM=BM,
∴AF-AM=BE-BM,即FM=EM,
∴四边形MFNE是正方形.
首先根据已知条件证明四边形EMFN是矩形,再根据正方形的判定:邻边相等的矩形是正方形即证明FM=EM即可.
正方形的判定;矩形的性质.
本题考查了矩形的性质和判定、角平分线的性质等腰直角三角形的判定和性质以及正方形的判定,解题的关键是对特殊的几何图形的判定和性质要熟练掌握.
举一反三
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