二次函数与判别式

题目

二次函数与判别式
对一切实数x,当a

答案

因为二次函数f(x)=ax2+bx+c的值恒为非负实数数,x为一切实数
所以a>0,且b^2-4ac≤0,即c≥b^2/4a
则(a+b+c)/(b-a)≥(a+b+b^2/4a)/(b-a)=[1+b/a+1/4*（b/a）^2]/(b/a-1)
令z=b/a（因为b>a>0,所以z=b/a>1)
则g（z）=（1+z+1/4*z^2)/(z-1)
再可设z-1=m,(因为z>1,所以m>0）
则（1+z+1/4*z^2)/(z-1)=[1/4（m+1)^2+(m+1)+1]/m
=m/4+9/4m+3/2>=3/2+3/2=3
当且仅当m/4=9/4m,得m=3,取得最小值为3
即z=4时,g（z）min=3
所以(a+b+c)/(b-a)的最小值为3,取最小值的条件是b/a=4,且b^2=4ac.