若A的平方=A,则称A为幂等矩阵,试证若A,B皆为幂等矩阵,则A+B为幂等阵的充要条件是AB=BA=0

题目

若A的平方=A,则称A为幂等矩阵,试证若A,B皆为幂等矩阵,则A+B为幂等阵的充要条件是AB=BA=0
我只知道证明 AB+BA=0 ……

答案

AB+BA=0 若此式左乘A再右乘A就有ABA=0;若此式左乘A再右乘B就有AB+ABAB=0
综合两式有AB=0
同理BA=0