四边形abcd是矩形,PA垂直于平面ABCD,其中AB=3,PA=4,若在线段PD上存在点E使得BE垂直于CE,求线段AD的取值范围,并求当线段PD上有且只有一个点E使得BE垂直于CE时,二面角E—B

题目

四边形abcd是矩形,PA垂直于平面ABCD,其中AB=3,PA=4,若在线段PD上存在点E使得BE垂直于CE,求线段AD的取值范围,并求当线段PD上有且只有一个点E使得BE垂直于CE时,二面角E—BC—A的大小.

答案

若以BC为直径的球面与线段PD有交点E,由于点E与BC确定的平面与球的截面是一个大圆,则必有BE⊥CE,因此问题转化为以BC为直径的球与线段PD有交点.
设BC的中点为O（即球心）,再取AD的中点M,易知OM⊥平面PAD,作ME⊥PD交PD于点E,连结OE,则OE⊥PD,所以OE即为点O到直线PD的距离,又因为OD＞OC,OP＞OA＞OB,点P,D在球O外,所以要使以BC为直径的球与线段PD有交点,只要使OE≤OC（设OC=OB=R）即可.
由于△DEM∽△DAP,可求得ME= ,所以OE2=9+ 令OE2≤R2,
即9+ ≤R2 ,解之得R≥2 ；所以AD=2R≥4 ,所以AD的取值范围[ 4 ,+∞ ,
当且仅当AD= 4 时,点E在线段PD上惟一存在,此时易求得二面角E—BC—A的平面角正切值为 0.5