记[X]为不超过实数X的最大整数,例如,[2]=2,[1.5]=1,[-0.3]=-1.设a为正整数,数列{Xn}满足X1=a,

题目

记[X]为不超过实数X的最大整数,例如,[2]=2,[1.5]=1,[-0.3]=-1.设a为正整数,数列{Xn}满足X1=a,
Xn+1 =[(Xn+[a/Xn])/2](n属于N+),现有下列命题：
①当a=5时,数列{Xn}的前3项分别为5,3,2.
②对数列{Xn}都存在正整数K,当n≧K时总有Xn=Xk
③当n≧1时Xn>sqr(a)-1
④对某个正整数K,若Xk+1≥Xk,则Xn=[sqr(a)]
其中的真命题有

答案

可以直接验证,第一个是对的；取a=3,可得该数列在1、2之间振荡,于是第二个是错的；第三个可以用归纳法证明.实际上,若X(n)>sqrt(a)-1,则X(n)>=[sqrt(a)].令X(n) = [sqrt(a)] + d则,a/X(n) >= [sqrt(a)] - d从而X(n+1) ...