已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线L：X=1/2,不在X轴上的动点P与点F的距离是它到直线L的距离的两倍.

题目

已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线L：X=1/2,不在X轴上的动点P与点F的距离是它到直线L的距离的两倍.
设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B,C两点,直线AB,AC分别交L于点M,N (1)求E的方程 （2）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.

答案

设点P的坐标为P(x,y),
则|PF|=√[(x-2)²+y²],
点P到直线L的距离d=|x-1/2|.
依题意得|PF|=2d,
即√[(x-2)²+y²]=2|x-1/2|.
两边分别平方得(x-2)²+y²=4(x²-x+1/4),
去括号x²-4x+4+y²=4x²-4x+1,最后变成x²-y²/3=1,可知此式为双曲线标准方程.