y=x^2-2ax+1,x在[-1,1]范围中,求值域

题目

y=x^2-2ax+1,x在[-1,1]范围中,求值域

答案

【解】
y＝x²－2ax＋1＝(x-a)²＋(1-a²)
x∈[-1,1],有(x-a)∈[-1-a,1-a]
讨论：
(1) a＜-1,此时0＜-1-a＜1-a,有
x-a＝-1-a时,y(min)＝(1+a)²＋(1-a²)＝2＋2a
x-a＝1-a时,y(max)＝(1-a)²＋(1-a²)＝2－2a
(2) -1≤a＜0,此时-1-a≤0＜1-a,且|-1-a|＝1+a＜1-a＝|1-a|,有
x-a＝0时,y(min)＝1－a²
x-a＝1-a时,y(max)＝(1-a)²＋(1-a²)＝2－2a
(2) 0≤a＜1,此时-1-a＜0＜1-a,且|-1-a|＝1+a≥1-a＝|1-a|,有
x-a＝0时,y(min)＝1－a²
x-a＝-1-a时,y(max)＝2＋2a
(4) a≥1,此时-1-a＜1-a≤0,有
x-a＝1-a时,y(min)＝(1-a)²＋(1-a²)＝2－2a
x-a＝-1-a时,y(max)＝(1+a)²＋(1-a²)＝2＋2a
综上所述,有：
当a∈(-∞,-1)时,值域[2+2a,2-2a]；
当a∈[-1,0)时,值域[1-a²,2-2a]；
当a∈[0,1)时,值域[1-a²,2+2a]；
当a∈[1,+∞)时,值域[2-2a,2+2a].