设A为n阶实对称矩阵，且满足A3+A2+A=3E，证明A是正定矩阵．

题目

设A为n阶实对称矩阵，且满足A³+A²+A=3E，证明A是正定矩阵．

答案

假设 λ 为A的特征值，因为A3+A2+A=3E，所以 λ3+λ2+λ-3=0．即　（λ3-1）+（λ2-1）+（λ-1）=0，得 （λ-1）（λ2+2λ+3）=0．解得，λ=1，λ＝−2±4−122＝−1±22i．因为A为实对称矩阵，其特...